Рождение гиганта
Представьте сетку из квадратов, где каждый случайно заполнен с вероятностью p. При малых p видны разрозненные точки и крошечные кластеры. По мере роста p кластеры растут и сливаются. Затем, при точном критическом значении p_c = 0,5927, происходит нечто драматическое: единый гигантский кластер внезапно соединяет одну сторону сетки с другой. Это перколяция — один из фундаментальнейших фазовых переходов в физике.
Узловая перколяция на квадратной решётке
В узловой перколяции каждый узел решётки независимо заполнен с вероятностью p и пуст с вероятностью 1-p. Два заполненных узла связаны, если они являются ближайшими соседями (вверх, вниз, влево, вправо). Кластер — максимальное множество связных заполненных узлов. Центральный вопрос: при каком p кластер впервые пронизывает всю систему сверху донизу?
Критические явления
Вблизи порога перколяции система демонстрирует замечательные критические явления. Распределение размеров кластеров следует степенному закону. Корреляционная длина (типичный диаметр кластера) расходится. Вероятность принадлежности к гигантскому кластеру масштабируется как P ~ (p - p_c)^(5/36). Это универсальные свойства — они зависят только от размерности решётки, а не от её конкретной геометрии.
Попробуйте сами
Медленно двигайте ползунок вероятности заполнения от 0 к 1. Наблюдайте, как изолированные узлы сливаются в кластеры. При p около 0,59 наибольший кластер (показан красным) внезапно пронизывает всю сетку. График ниже показывает кривую параметра порядка с отмеченным критическим порогом. Обратите внимание, как переход становится более резким при увеличении размера сетки.