Математика эпидемий
В 1927 году Кермак и Маккендрик опубликовали эпохальную статью, заложившую математический фундамент понимания распространения инфекционных заболеваний. Их модель SIR остаётся одной из важнейших рамок в эпидемиологии, разделяя любую популяцию на три группы: Восприимчивые (те, кто может заразиться), Инфицированные (больные и заразные в данный момент) и Выздоровевшие (получившие иммунитет).
Репродуктивное число R0
Самое важное число в эпидемиологии — R0, базовое репродуктивное число. Оно показывает, сколько людей в среднем заразит один инфицированный в полностью восприимчивой популяции. Скорость передачи beta и скорость выздоровления gamma вместе определяют R0 = beta/gamma. При R0 > 1 каждый случай порождает более одного нового, и эпидемия растёт. При R0 < 1 вспышка сокращается и угасает.
Коллективный иммунитет
Один из мощнейших выводов модели SIR — концепция коллективного иммунитета. Не нужно вакцинировать всех, чтобы остановить эпидемию — достаточно вакцинировать столько людей, чтобы эффективное репродуктивное число упало ниже 1. Критический порог составляет 1 - 1/R0. Для болезни с R0 = 2,5 вакцинация 60% популяции защищает всех, включая тех, кто не может быть вакцинирован.
Попробуйте сами
Регулируйте R0 и наблюдайте, как меняется форма эпидемической кривой. Затем добавьте вакцинацию и посмотрите, как пересечение порога коллективного иммунитета (показан пунктиром) полностью подавляет вспышку. Анимированная сетка точек показывает болезнь, распространяющуюся видимой волной через популяцию.