Простота порождает сложность
Логистическое отображение x(n+1) = r·x(n)·(1−x(n)) — пожалуй, простейшее уравнение, порождающее хаос. Изначально предложенное как модель популяционной динамики, где x — доля популяции, а r — скорость роста, оно стало одним из самых изучаемых объектов нелинейной динамики после влиятельной статьи Роберта Мэя 1976 года в Nature.
Маршрут удвоения периода к хаосу
По мере роста параметра r система проходит замечательную последовательность переходов. При r < 3 популяция сходится к единственному устойчивому значению. При r = 3 неподвижная точка теряет устойчивость, и система начинает осциллировать между двумя значениями (период 2). При r ≈ 3,449 — удвоение до периода 4, затем 8, 16 и так далее. Интервалы между удвоениями сокращаются в универсальном соотношении — постоянной Фейгенбаума δ ≈ 4,669 — пока при r ≈ 3,570 период не становится бесконечным: хаос.
Чтение бифуркационной диаграммы
Верхняя панель показывает бифуркационную диаграмму. По оси x — параметр r, по оси y — значения аттрактора. Одна линия означает неподвижную точку, две — период 2 и так далее. Плотные тёмные области — хаос. Обратите внимание на окна периодичности внутри хаотической области — особенно заметное окно периода 3 вблизи r ≈ 3,83. Математики Ли и Йорке доказали, что «период три подразумевает хаос», придавая этому окну особую значимость.
Универсальное поведение
Глубина логистического отображения в том, что его поведение не уникально. Любое гладкое отображение с одним горбом демонстрирует тот же каскад удвоения периода с теми же постоянными Фейгенбаума. Эта универсальность связывает логистическое отображение с фазовыми переходами в физике и даёт одно из глубочайших прозрений теории хаоса: путь от порядка к хаосу подчиняется универсальным законам.