Простой механизм, невозможный для предсказания
Двойной маятник — два жёстких стержня, соединённых конец к концу и качающихся под действием силы тяжести — одна из простейших механических систем, демонстрирующих хаос. В отличие от одиночного маятника, качающегося предсказуемо, движение двойного маятника становится дико непредсказуемым при больших начальных углах. Два маятника, запущенных с почти одинаковыми условиями, быстро разойдутся на совершенно разные траектории.
Лагранжева механика
Уравнения движения выводятся с помощью лагранжевой механики — мощного формализма классической физики. Лагранжиан L = T − V (кинетическая минус потенциальная энергия) записывается через два угла θ₁ и θ₂. Применение уравнений Эйлера-Лагранжа даёт два связанных нелинейных ОДУ второго порядка. Эти уравнения не имеют аналитического решения — их приходится решать численно.
Чтение симуляции
Белый кружок — первый груз, красный — второй. Голубой след показывает путь, прочерченный концом второго груза. Наблюдайте, как след заполняет сложную область пространства, никогда не повторяясь точно. Точка подвеса фиксирована в верхнем центре. Попробуйте изменить начальные углы всего на один градус и сравните результат — эта чувствительность и есть подпись хаоса.
Сохранение энергии
Несмотря на хаотическое движение, одна величина строго сохраняется: полная механическая энергия. Симуляция использует интегратор Рунге-Кутты четвёртого порядка (RK4) с малым шагом для поддержания этого сохранения. Показатель полной энергии внизу должен оставаться почти постоянным на протяжении всей симуляции — любой дрейф указывает на числовую ошибку, а не физическую диссипацию.