Distribución de Maxwell–Boltzmann: velocidad molecular en gases

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v_mp ≈ 422 m/s para N₂ a 300 K

Las moléculas de nitrógeno (N₂, masa 28 amu) a temperatura ambiente (300 K) tienen una velocidad más probable de unos 422 m/s, una velocidad media de 476 m/s y una velocidad RMS de 517 m/s. La fracción de escape es despreciablemente pequeña.

Fórmula

f(v) = 4π·n·(m/(2πk_BT))^(3/2)·v²·exp(-mv²/(2k_BT))
v_mp = √(2k_BT/m)
v_mean = √(8k_BT/(πm))
v_rms = √(3k_BT/m)

La distribución de velocidades moleculares

En cualquier gas en equilibrio térmico, no todas las moléculas se mueven a la misma velocidad. Algunas se arrastran, otras corren — sus velocidades siguen una distribución estadística precisa derivada por primera vez por James Clerk Maxwell en 1860 y posteriormente fundamentada en bases rigurosas de mecánica estadística por Ludwig Boltzmann. La distribución de Maxwell–Boltzmann es una de las piedras angulares de la teoría cinética y la mecánica estadística.

Tres velocidades características

La distribución define tres velocidades importantes: v_mp (velocidad más probable, donde la curva alcanza su pico), v_media (velocidad promedio) y v_rms (velocidad cuadrática media, conectada con la energía cinética mediante E = ½mv²_rms). Estas tres siempre están ordenadas: v_mp < v_media < v_rms. Las diferencias entre ellas surgen de la forma asimétrica de la distribución — tiene una cola larga hacia velocidades altas.

Efectos de temperatura y masa

Mueve el deslizador de temperatura y observa cómo la curva se aplana y desplaza a la derecha. Mayor temperatura bombea más energía cinética al gas, distribuyendo las velocidades en un rango más amplio. Ahora prueba a cambiar la masa molecular: las moléculas pesadas (como Xe a 131 amu) tienen una distribución más estrecha y lenta que las ligeras (como He a 4 amu) a la misma temperatura. Esta dependencia de la masa tiene consecuencias reales — determina qué gases puede retener un planeta en su atmósfera a lo largo de escalas de tiempo geológicas.

Escape atmosférico

Activa la superposición de velocidad de escape para ver la velocidad de escape de la Tierra (11,2 km/s) sobre la distribución. Para moléculas pesadas como N₂, la cola más allá de 11,2 km/s es despreciablemente pequeña — la Tierra retiene su nitrógeno fácilmente. Pero para el hidrógeno (masa 2 amu), una fracción significativa de moléculas supera la velocidad de escape en cualquier momento. A lo largo de 4.500 millones de años, esta fuga térmica (escape de Jeans) ha eliminado casi todo el hidrógeno primordial de la Tierra. Por eso los planetas masivos como Júpiter, con sus velocidades de escape mucho mayores, retienen densas atmósferas de hidrógeno-helio mientras la Tierra no puede.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la distribución de Maxwell–Boltzmann?

La distribución de Maxwell–Boltzmann describe la distribución estadística de velocidades para las partículas de un gas ideal en equilibrio térmico. Fue derivada independientemente por James Clerk Maxwell (1860) y Ludwig Boltzmann (1868). La fórmula es f(v) = 4π·n·(m/(2πk_BT))^(3/2)·v²·exp(-mv²/(2k_BT)).

¿Qué son v_mp, v_media y v_rms?

v_mp (velocidad más probable) = √(2kT/m) es donde la distribución alcanza su pico. v_media = √(8kT/πm) es la velocidad promedio. v_rms = √(3kT/m) es la velocidad cuadrática media, relacionada con la energía cinética media. Siempre se cumple v_mp < v_media < v_rms.

¿Por qué la temperatura aplana la distribución?

Mayor temperatura significa más energía cinética. El pico se desplaza a la derecha (velocidades más altas) y la curva se ensancha porque el decaimiento exponencial exp(-mv²/2kT) se vuelve más suave — permitiendo un rango más amplio de velocidades.

¿Por qué la Tierra ha perdido su atmósfera de hidrógeno?

Las moléculas de hidrógeno (masa 2 amu) a la temperatura de la Tierra tienen una fracción significativa que supera la velocidad de escape terrestre de 11,2 km/s. A lo largo de miles de millones de años, esta fuga térmica (escape de Jeans) ha eliminado los gases más ligeros de la Tierra. Las moléculas más pesadas como N₂ y O₂ se retienen sin problema.

Fuentes

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