El modelo depredador-presa de Lotka-Volterra
En 1925, Alfred Lotka propuso un modelo matemático para reacciones químicas oscilantes que fue redescubierto independientemente por Vito Volterra en 1926 para explicar las fluctuaciones en las capturas de pesca del Adriático. Las ecuaciones de Lotka-Volterra resultantes se convirtieron en uno de los modelos más influyentes de la ecología matemática, proporcionando el fundamento teórico para comprender la dinámica depredador-presa.
Las ecuaciones
El modelo consta de dos ecuaciones diferenciales acopladas:
dx/dt = αx − βxy — Las presas crecen exponencialmente a tasa α en ausencia de depredadores. El término βxy representa la depredación: los encuentros entre depredadores y presas son proporcionales al producto de sus poblaciones (principio de acción de masas).
dy/dt = δxy − γy — Los depredadores mueren exponencialmente a tasa γ sin alimento. El término δxy representa la reproducción de depredadores alimentada por la depredación exitosa, donde δ refleja la eficiencia de conversión de presas consumidas en nuevos depredadores.
Oscilaciones perpetuas
La característica más notable del modelo de Lotka-Volterra es su predicción de oscilaciones perpetuas sin amortiguamiento. El sistema posee una cantidad conservada (análoga a la energía en física): V = δx − γ·ln(x) + βy − α·ln(y), que permanece constante a lo largo de cualquier trayectoria. Esta ley de conservación asegura que las órbitas en el plano de fase son curvas cerradas: las poblaciones oscilan para siempre sin amortiguamiento ni amplificación.
El punto de equilibrio (x* = γ/δ, y* = α/β) se sitúa en el centro de estas órbitas. Las trayectorias más cercanas al equilibrio tienen oscilaciones de menor amplitud; las más alejadas oscilan más violentamente. Las condiciones iniciales determinan qué órbita sigue el sistema, pero todas las órbitas comparten el mismo periodo — una propiedad única del sistema linealizado cerca del equilibrio.
Lecciones ecológicas
El retraso de un cuarto de ciclo entre los picos de presas y depredadores es una predicción clave confirmada en muchos ecosistemas reales. El ejemplo clásico son los registros de la Compañía de la Bahía de Hudson mostrando oscilaciones acopladas de la liebre de raquetas de nieve y el lince canadiense durante más de un siglo. Aunque los ecosistemas reales incluyen complicaciones ausentes del modelo básico — capacidad de carga, respuestas funcionales, estructura espacial —, el marco de Lotka-Volterra sigue siendo el punto de partida para comprender todas las interacciones depredador-presa.
Explora el retrato de fase en el lado derecho de la visualización: observa cómo la órbita cerrada traza el ciclo perpetuo. La forma y tamaño de la órbita cambian con los parámetros — aumentar la eficiencia de depredación (δ) o la tasa de natalidad de presas (α) altera drásticamente la dinámica.