Die 80/20-Regel und darüber hinaus
1897 bemerkte der italienische Ökonom Vilfredo Pareto, dass 80 % des italienischen Grundbesitzes 20 % der Bevölkerung gehörten. Dieses «Pareto-Prinzip» stellt sich als Spezialfall eines viel tieferen mathematischen Musters heraus: der Potenzgesetz-Verteilung. Wenn eine Größe P(x) ~ x^(-alpha) folgt, sind Extremwerte keine seltenen Ausreißer — sie sind ein inhärentes Merkmal des Systems.
Zipfs bemerkenswerte Entdeckung
1949 zeigte der Linguist George Zipf, dass Wortfrequenzen einem präzisen mathematischen Gesetz folgen: Das n-thäufigste Wort kommt mit einer Häufigkeit proportional zu 1/n vor. Das Wort «the» macht etwa 7 % des gesamten englischen Textes aus, «of» etwa 3,5 %, «and» etwa 2,8 %. Dieselbe Rang-Häufigkeits-Beziehung erscheint bei Stadtgrößen (New York ist ungefähr doppelt so groß wie Los Angeles), Unternehmenserlösen und Website-Traffic.
Schwere Ränder verändern alles
Normal- (Gauß-) Verteilungen haben dünne Ränder — Ereignisse weit vom Mittelwert sind exponentiell selten. Potenzgesetze haben schwere Ränder — Extremereignisse sind lediglich polynomiell selten, was sie weit häufiger macht, als die Intuition vermuten lässt. Deshalb ist: das stärkste Erdbeben millionenfach stärker als der Durchschnitt; die reichste Person millionenfach vermögender als der Median; und ein einzelner viraler Beitrag kann mehr Aufrufe erhalten als tausend durchschnittliche Beiträge zusammen.
Probieren Sie es selbst
Passen Sie den Potenzgesetz-Exponenten alpha an und beobachten Sie, wie sich das Rang-Größen-Diagramm und das Histogramm verändern. Niedrigeres alpha bedeutet extremere Ungleichheit. Wechseln Sie zwischen Datensätzen, um dasselbe mathematische Gesetz in völlig verschiedenen Bereichen zu sehen. Der Gini-Koeffizient und der Anteil der oberen 1 % quantifizieren, wie ungleich potenzgesetz-verteilte Größen werden.