Kanalkapazität: Shannons ultimatives Tempolimit für Kommunikation

simulation advanced ~15 min
Simulation wird geladen...

Formel

C = B \cdot \log_2(1 + \text{SNR})
\eta = \frac{C}{B} = \log_2(1 + \text{SNR}) \quad \text{bits/s/Hz}
\text{SNR}_{\text{dB}} = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{S}{N}\right)
C_{\text{BSC}} = 1 - H(p) = 1 + p\log_2(p) + (1-p)\log_2(1-p)
Wie schnell kann man kommunizieren? Nicht wie schnell man sprechen oder tippen kann, sondern was ist die fundamentale physikalische Grenze der zuverlässigen Informationsübertragung über einen verrauschten Kanal? Claude Shannon beantwortete diese Frage 1948 mit dem Kanalkapazitätstheorem definitiv. Die Shannon-Hartley-Formel C = B·log₂(1 + S/N) ist von atemberaubender Eleganz. Die Kanalkapazität C (in Bit pro Sekunde) hängt von nur zwei physikalischen Parametern ab: der Bandbreite B (wie breit der Frequenzbereich) und dem Signal-Rausch-Verhältnis S/N (wie stark das Signal relativ zum Rauschen). Verdoppeln Sie die Bandbreite, verdoppelt sich die Kapazität. Verdoppeln Sie das SNR, gewinnen Sie ungefähr ein zusätzliches Bit pro Sekunde pro Hertz. Das Theorem hat zwei Teile, und beide sind wesentlich. Das Erreichbarkeitsresultat besagt, dass für jede Rate R < C ein Codierungsverfahren existiert, das eine beliebig niedrige Fehlerwahrscheinlichkeit erreicht. Die Umkehrung besagt, dass für jede Rate R > C kein Codierungsverfahren Fehler vermeiden kann. Zusammen etablieren sie C als scharfe Schwelle zwischen Möglichem und Unmöglichem. Dieser Simulator visualisiert sowohl die theoretische Grenze als auch praktische Modulationsverfahren. Das linke Feld zeigt, wie die Kapazität mit dem SNR skaliert, mit der Shannon-Grenze als glatter Kurve und praktischen Modulationen als Stufenlinien darunter. Die Lücke zwischen einem Modulationsverfahren und der Shannon-Kurve repräsentiert die durch eine endliche Konstellation verlorene Effizienz. Das rechte Feld zeigt das Konstellationsdiagramm — die geometrische Darstellung des Modulationsverfahrens. Jeder Punkt repräsentiert ein mögliches Sendesymbol. Bei hohem SNR sind die Rauschwolken um jeden Punkt eng und gut getrennt. Mit abnehmendem SNR expandieren die Wolken und beginnen sich zu überlappen, was es dem Empfänger unmöglich macht, zwischen Symbolen zu unterscheiden. Das ist die geometrische Intuition hinter der Kapazitätsgrenze: Man kann nur so viele unterscheidbare Symbole packen, wie das Rauschen erlaubt.

Häufige Fragen

Was ist Shannons Kanalkapazitätstheorem?

Das Shannon-Hartley-Theorem (1948) besagt, dass die maximale Rate zuverlässiger Kommunikation über einen kontinuierlichen Kanal mit Bandbreite B und Signal-Rausch-Verhältnis S/N gleich C = B·log₂(1 + S/N) Bit pro Sekunde ist. Dies ist eine absolute Grenze: Unterhalb von C ist fehlerfreie Kommunikation mit geeigneter Codierung möglich; oberhalb von C ist sie mathematisch unmöglich, unabhängig vom verwendeten Codierungsverfahren.

Was ist ein Konstellationsdiagramm?

Ein Konstellationsdiagramm stellt die möglichen Sendesymbole als Punkte auf einer zweidimensionalen Ebene mit In-Phase- (I) und Quadratur- (Q) Achsen dar. BPSK hat 2 Punkte, QPSK hat 4 Punkte in einem Quadrat, 16-QAM hat 16 Punkte in einem 4×4-Raster und 64-QAM hat 64 Punkte in einem 8×8-Raster. Kanalrauschen verschmiert jeden Punkt zu einer Wolke. Wenn Wolken sich überlappen, kann der Empfänger die Symbole nicht unterscheiden und es treten Fehler auf.

Wie beeinflusst das SNR die Datenrate in der Praxis?

Das SNR bestimmt, welche Modulationsverfahren zuverlässig funktionieren. Bei niedrigem SNR funktionieren nur einfache Modulationen wie BPSK (1 Bit/Symbol). Mit steigendem SNR werden dichtere Modulationen einsetzbar: QPSK bei mittlerem SNR (2 Bit/Symbol), 16-QAM bei höherem SNR (4 Bit/Symbol), 64-QAM bei hohem SNR (6 Bit/Symbol). Moderne Systeme wie Wi-Fi 6 und 5G schalten adaptiv die Modulation basierend auf den gemessenen Kanalbedingungen um.

Warum ist die Shannon-Grenze wichtig für 5G und darüber hinaus?

Die Shannon-Grenze definiert den theoretischen maximalen Durchsatz für jedes drahtlose System. 5G-Technologien nähern sich dieser Grenze durch Massive MIMO (Erhöhung des effektiven SNR), Millimeterwellen-Bänder (Erhöhung der Bandbreite) und fortschrittliche LDPC/Polar-Codes (Annäherung an die Kapazität mit praktischer Decodierung). Die verbleibende Lücke zur Shannon-Grenze beträgt in modernen Systemen typischerweise weniger als 1 dB.

Quellen

Weitere Simulationen: Informationstheorie

simulation

Datenkompression-Simulator
simulation

Fehlerkorrektur-Simulator
simulation

Shannon-Entropie-Rechner
View source on GitHub