Was ist ein Nash-Gleichgewicht?
Ein Nash-Gleichgewicht (NG) ist das fundamentalste Lösungskonzept der Spieltheorie. Benannt nach dem Mathematiker John Forbes Nash Jr., der seine Existenz 1950 bewies, ist ein Nash-Gleichgewicht ein Strategieprofil — eines für jeden Spieler — bei dem kein Spieler seine Auszahlung durch einseitige Abweichung verbessern kann. Mit anderen Worten: Die Strategie jedes Spielers ist eine beste Antwort auf die Strategien aller anderen Spieler.
Gemischte Strategien
Nicht jedes Spiel hat ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien (bei denen jeder Spieler deterministisch eine Aktion wählt). Nashs Existenzsatz garantiert jedoch, dass jedes endliche Spiel mindestens ein Gleichgewicht in gemischten Strategien besitzt — Wahrscheinlichkeitsverteilungen über reine Strategien. Ein Spieler mischt so, dass sein Gegner genau indifferent zwischen seinen eigenen Optionen ist, wodurch jeder Anreiz zur Abweichung entfällt.
Das 2x2-Bimatrix-Spiel
Dieser Simulator modelliert ein symmetrisches 2x2-Spiel, in dem Spieler 1 zwischen Zeilen (Kooperieren oder Defektieren) und Spieler 2 zwischen Spalten wählt. Die vier Parameter a1, b1, c1, d1 definieren die Auszahlungen von Spieler 1 in jeder Zelle. Durch Anpassung dieser Werte können Sie klassische Spiele nachstellen: das Gefangenendilemma (c1 > a1 > d1 > b1), die Hirschjagd (a1 > c1 > d1 > b1), das Feiglingsspiel (c1 > a1 > b1 > d1) oder reine Koordinationsspiele.
Best-Response-Funktionen
Das untere Diagramm zeigt die Best-Response-Korrespondenzen auf dem Einheitsquadrat, wobei die x-Achse die Kooperationswahrscheinlichkeit von Spieler 1 (q) und die y-Achse die von Spieler 2 (p) darstellt. Die beste Antwort jedes Spielers ist eine Stufenfunktion: Er kooperiert mit Wahrscheinlichkeit 1, wenn die Mischwahrscheinlichkeit des Gegners einen Schwellenwert überschreitet, und mit 0 darunter. Das Nash-Gleichgewicht liegt am Schnittpunkt dieser beiden Best-Response-Funktionen — dem weißen pulsierenden Punkt.
Ergebnisse interpretieren
Verschieben Sie die Auszahlungsregler und beobachten Sie, wie sich das Gleichgewicht verschiebt. Wenn die Versuchung zu defektieren hoch ist (c1 >> a1), sinkt die Kooperationswahrscheinlichkeit. Wenn gegenseitige Kooperation sehr lohnend ist (a1 >> d1), begünstigt das Gleichgewicht mehr Kooperation. Beachten Sie, dass die erwartete Auszahlung in einem gemischten NG typischerweise niedriger ist als die Auszahlung bei gegenseitiger Kooperation — das ist der Preis strategischer Unsicherheit. Die Ineffizienz des Nash-Gleichgewichts in sozialen Dilemmata ist eine der zentralen Erkenntnisse der modernen Spieltheorie.