Eine einfache Maschine, unmöglich vorherzusagen
Das Doppelpendel — zwei starre Stäbe, die Ende an Ende verbunden unter Schwerkraft schwingen — ist eines der einfachsten mechanischen Systeme, die Chaos zeigen. Anders als ein einzelnes Pendel, das auf perfekt vorhersagbare Weise hin- und herschwingt, wird die Bewegung des Doppelpendels wild unvorhersagbar, wenn es aus großen Winkeln losgelassen wird. Zwei Pendel, die mit nahezu identischen Bedingungen gestartet werden, divergieren schnell in völlig verschiedene Trajektorien.
Lagrange-Mechanik
Die Bewegungsgleichungen werden mit der Lagrange-Mechanik abgeleitet — einem mächtigen Rahmenwerk der klassischen Physik. Die Lagrange-Funktion L = T − V (kinetische minus potenzielle Energie) wird in den zwei Winkeln θ₁ und θ₂ ausgedrückt. Die Anwendung der Euler-Lagrange-Gleichungen ergibt zwei gekoppelte, nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Diese Gleichungen haben keine geschlossene Lösung — sie müssen numerisch gelöst werden.
Die Simulation verstehen
Der weiße Kreis ist die erste Kugel, der rote die zweite. Die cyanfarbene Spur zeigt den Pfad der Spitze der zweiten Kugel. Beobachten Sie, wie die Spur einen komplexen Raumbereich füllt, ohne sich jemals exakt zu wiederholen. Der Drehpunkt ist oben in der Mitte fixiert. Versuchen Sie, die Anfangswinkel um nur ein Grad zu ändern und die resultierende Bewegung zu vergleichen — diese Empfindlichkeit ist das Kennzeichen von Chaos.
Energieerhaltung
Trotz der chaotischen Bewegung bleibt eine Größe perfekt erhalten: die mechanische Gesamtenergie. Die Simulation verwendet einen Runge-Kutta-Integrator vierter Ordnung (RK4) mit kleiner Zeitschrittweite, um diese Erhaltung aufrechtzuerhalten. Die Gesamtenergie-Anzeige unten sollte während der gesamten Simulation nahezu konstant bleiben — jede Abweichung zeigt numerische Fehler an, keine physikalische Dissipation.